A kümesindeki hiçbir elemanı boşta bırakmayan ve A kümesindeki her elemanı B kümesinden yalnız tek bir elemanla eşleştiren bağıntılara A'dan B'ye fonksiyon adı verilir.
Örnek olarak A={1, 2, 3) ve B={1, 2, 3, 4} kümelerini kullanalım.
\(\beta_1=\left \{ (1,1),(2,3) \right \}\) bağıntısı A'dan B'ye bir fonksiyon değildir. Çünkü A kümesindeki "3" elemanı herhangi bir elemanla eşleştirilmemiş, boşta kalmıştır.
\(\beta_2=\left \{ (1,1),(2,2),(3,3),(3,4)\right \}\) bağıntısı da A'dan B'ye bir fonksiyon değildir. Çünkü A kümesindeki "3" elemanı B kümesindeki hem "3" elemanıyla hem de "4" elemanıyla eşleştirilmiştir. Fakat bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için A'daki her eleman sadece bir eleman ile eşleştirilmiştir.
\(\beta_3=\left \{ (1,1),(2,2),(3,3)\right \}\) bağıntısı ise A'dan B'ye bir fonksiyondur. Çünkü hem A kümesinin elemanlarından hiçbirisi boşta kalmamış hem de A kümesinin her elemanı B kümesinden sadece bir elemanla eşleşmiştir. Görüldüğü gibi B kümesinde boşta eleman kalması bir bağıntının fonksiyon olup olmamasında belirleyici değildir.
Ayrıca A kümesindeki birden fazla eleman B kümesinden bir eleman ile eşleşebilir. Bu da bağıntının fonksiyon olmasına engel değildir. Örneğin \(\beta_4=\left \{ (1,1),(2,2),(3,2)\right \}\) bağıntısı A'daki hem "2" hem de "3" elemanı B'deki "2" elemanıyla eşleşmesine rağmen bir fonksiyondur.
A'dan B'ye bir fonksiyon \(f:A\rightarrow B,y=f(x)\) şeklinde gösterilir. Burada "f" fonksiyonun ismidir ve bu ifade f fonksiyonun x A kümesinden alınacak bir eleman ve y B kümesinden alınacak bir eleman olmak üzere (x,y) sıralı ikililerinden oluştuğunu belirtir. Burada A'ya tanım kümesi B'ye ise değer (görüntü) kümesi denir.
Fonksiyon Çeşitleri
İçine Fonksiyon
A'dan B'ye bir fonksiyonda B'deki elemanlardan en az birisi A'daki hiçbir elemanla eşleşmiyorsa bu fonksiyon içine fonksiyon olarak adlandırılır.
A={1, 2, 3} ve B={1, 2, 3, 4} olmak üzere \(f:A\rightarrow B,f(x)=x\) fonksiyonu içine fonksiyondur. Çünkü bu fonksiyonun elemanı olan sıralı ikililer (1, 1), (2, 2) ve (3, 3)'tür. B kümesindeki "4" elemanı A kümesindeki hiçbir elemanla eşleşmemiştir.
Örten Fonksiyon
A'dan B'ye bir fonksiyonda B'deki elemanlardan hiçbirisi boşta kalmıyor, hepsi A'dan bir elemanla eşleşiyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon denir.
A={1, 2, 3} ve B={1, 2} olmak üzere A'dan B'ye f fonksiyonu f={(1, 1), (2, 2), (3, 2)} bir örten fonksiyondur. Çünkü B'deki hiçbir eleman boşta kalmamıştır.
Bir fonksiyonun değer kümesi verilmeden bu fonksiyonun içine fonksiyon mu yoksa örten fonksiyon mu olduğu bilinemez. Örneğin f={(1, 2), (2, 3), (3, 4)} şeklinde bir fonksiyon verilmiş olsun. Bu fonksiyonun içine veya örten olduğunun bilinmesi ancak değer kümesi verilirse bulunabilir. Misalen fonksiyonun değer kümesi B={1, 2, 3, 4} olarak verilirse fonksiyon içine fonksiyondur. Çünkü "1" elemanı boşta kalmıştır. Değer kümesinin B={2, 3, 4} olarak verilirse fonksiyon örten fonksiyon olur.
Bazen bir fonksiyon verilir fakat fonksiyonun değer veya tanım kümesinden bahsedilmez bu durumda tanım kümesi fonksiyonu tanımsız yapmayan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Değer fonksiyonu ise fonksiyonun örten olduğu varsayılarak bulunur.
Örnek olarak \(\large f(x)=\frac{x^2-2x}{x-2}\) fonksiyonu ele alınsın. Fonksiyon sadece x = 2 için tanımsızdır. Bu nedenle tanım kümesi 2 haricindeki tüm reel sayılardır. Fonksiyon ayrıca 2 haricindeki her değere gidebilir. Fonksiyonun örten olduğu varsayıldığında değer kümesi de 2 haricindeki tüm reel sayılardır. Yukarıda bahsi geçen durumlar fonksiyonun grafiği çizdirildiğinde daha net olarak görülebilir.
Bire Bir Fonksiyon
Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinden sadece bir elemanla eşleştiği fonksiyonlara bire bir fonksiyon denir. Örneğin \(f(x)=x\) bir bire bir fonksiyondur. Çünkü her y'ye karşılık sadece bir x vardır. Fakat \(f(x)=x^2\) bir bire bir fonksiyon değildir. Çünkü değer kümesindeki bazı elemanlar tanım kümesindeki birden fazla elemanla eşleşir. Örneğin tanım kümesindeki hem "1" hem de "-1" elemanı değer kümesindeki "1" elemanı ile eşleşecektir.
Sabit Fonksiyon
k sabit bir sayı olmak üzere; f(x)=k şeklindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. Böyle fonksiyonlarda tanım kümesindeki her elemanın karşılığı değer kümesindeki tek bir sabittir. Örneğin \(f(x)=5\) fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı "5"tir.
Birim Fonksiyon
f(x)=x şeklindeki fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Böyle fonksiyonlarda tanım kümesindeki her elemanın karşılığı kendisidir.
Eşit Fonksiyonlar
\(f:A\rightarrow B\) ve \(g:A\rightarrow B\) olmak üzere \(\forall x\in A\) için f(x)=g(x) ise bu iki fonksiyon eşittir. Yani iki fonksiyonun eşit olabilmesi için tanım kümelerindeki her elemanın değer kümelerindeki karşılığı her iki fonksiyon için de aynı olmalıdır.
Tek ve Çift Fonksiyonlar
\(f:R\rightarrow R\) olmak üzere;
\(\forall x\in R\) için f(x)=f(-x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
\(\forall x\in R\) için f(x) = -f(-x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Fonksiyonlarda Dört İşlem
\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)
\((f.g)(x)=f(x).g(x)\)
\(\large (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\), \(g(x)\neq 0\)
Bir Fonksiyonun Tersi
\(f:A\rightarrow B\), \(y=f(x)\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}:B\rightarrow A\),\(x=f^{-1}(y)\) fonksiyonudur.
\(y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\)
A={1, 2, 3} ve B={a, b, c} olmak üzere \(f:A\rightarrow B\) fonksiyonu şöyle tanımlanmış olsun:
\(f:{(1, a), (2, b), (3, c)}\)
Bu durumda şu eşitlikler elde edilir:
\(f(1) = a\), \(f(2) = b\), \(f(3) = c\)
Bu fonksiyonun tersi ise şudur:
\(f^{-1}:B\rightarrow A\)
Bu durumda da şu eşitlikler elde edilir:
\(f^{-1}(a) = 1\), \(f^{-1}(b) = 2\), \(f^{-1}(c) = 3\)
Fonksiyon \(y=f(x)\) şeklinde verilmişse x'in y cinsinden değeri bulunduktan sonra x yerine \(f^{-1}(x)\) y yerine de x yazıldığında fonksiyonun tersi bulunmuş olur.
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir:
\((f^{-1})^{-1}=f\)
Bileşke Fonksiyon
\(f\) ve \(g\); \(f:A\rightarrow B\) ve \(g:B\rightarrow C\) şeklinde iki fonksiyon olmak üzere A kümesinin elemanlarını B kümesi aracılığıyla C kümesine bağlayan fonksiyon bir bileşke fonksiyondur ve \(gof\) şeklinde gösterilir.
\(gof(x)=g[f(x)]\)
Örneğin , A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6} ve C={7, 8, 9} olsun ve \(f\) ile \(g\) fonksyonları aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun:
\(f:{(1, 4), (2, 5), (3, 6)}\) \(g:{(4, 7), (5, 8), (6, 9)}\)
Bu durumda \(gof\) fonksiyonunu bulalım;
\(gof(1)=g[f(1)]=g(4)=7\) \(gof(2)=g[f(2)]=g(5)=8\) \(gof(3)=g[f(3)]=g(6)=9\)
\(gof:{(1, 7), (2, 8), (3, 9)}\)
I birim fonksiyon olmak üzere bileşke fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir.
\(fog\neq gof\)
\(fo(goh)= (fog)oh\)
\(foI=Iof=f\)
\(fof^{-1}=f^{-1}of=I\)
\((fog)^{-1}=g^{-1}of^{-1}\)
Permütasyon Fonksiyon
\(f:A\rightarrow A\) olmak üzere bire bir ve örten bir fonksiyon ise permütasyon fonksiyon diye adlandırılır ve bu tarz fonksiyonlar özel bir gösterimle de gösterilebilir.
Örnek olarak A={1, 2, 3} kümesini ve \(f:{(1, 2), (2, 3), (3, 1)}\) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon aşağıdaki gibi gösterilebilir:
\(f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)
Burada üstteki elemanlar tanım kümesini, alttaki elemanlar değer kümesini ifade eder.
\(y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\)
A={1, 2, 3} ve B={a, b, c} olmak üzere \(f:A\rightarrow B\) fonksiyonu şöyle tanımlanmış olsun:
\(f:{(1, a), (2, b), (3, c)}\)
Bu durumda şu eşitlikler elde edilir:
\(f(1) = a\), \(f(2) = b\), \(f(3) = c\)
Bu fonksiyonun tersi ise şudur:
\(f^{-1}:B\rightarrow A\)
Bu durumda da şu eşitlikler elde edilir:
\(f^{-1}(a) = 1\), \(f^{-1}(b) = 2\), \(f^{-1}(c) = 3\)
Fonksiyon \(y=f(x)\) şeklinde verilmişse x'in y cinsinden değeri bulunduktan sonra x yerine \(f^{-1}(x)\) y yerine de x yazıldığında fonksiyonun tersi bulunmuş olur.
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir:
\((f^{-1})^{-1}=f\)
Bileşke Fonksiyon
\(f\) ve \(g\); \(f:A\rightarrow B\) ve \(g:B\rightarrow C\) şeklinde iki fonksiyon olmak üzere A kümesinin elemanlarını B kümesi aracılığıyla C kümesine bağlayan fonksiyon bir bileşke fonksiyondur ve \(gof\) şeklinde gösterilir.
\(gof(x)=g[f(x)]\)
Örneğin , A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6} ve C={7, 8, 9} olsun ve \(f\) ile \(g\) fonksyonları aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun:
\(f:{(1, 4), (2, 5), (3, 6)}\) \(g:{(4, 7), (5, 8), (6, 9)}\)
Bu durumda \(gof\) fonksiyonunu bulalım;
\(gof(1)=g[f(1)]=g(4)=7\) \(gof(2)=g[f(2)]=g(5)=8\) \(gof(3)=g[f(3)]=g(6)=9\)
\(gof:{(1, 7), (2, 8), (3, 9)}\)
I birim fonksiyon olmak üzere bileşke fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir.
\(fog\neq gof\)
\(fo(goh)= (fog)oh\)
\(foI=Iof=f\)
\(fof^{-1}=f^{-1}of=I\)
\((fog)^{-1}=g^{-1}of^{-1}\)
Permütasyon Fonksiyon
\(f:A\rightarrow A\) olmak üzere bire bir ve örten bir fonksiyon ise permütasyon fonksiyon diye adlandırılır ve bu tarz fonksiyonlar özel bir gösterimle de gösterilebilir.
Örnek olarak A={1, 2, 3} kümesini ve \(f:{(1, 2), (2, 3), (3, 1)}\) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon aşağıdaki gibi gösterilebilir:
\(f=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)
Burada üstteki elemanlar tanım kümesini, alttaki elemanlar değer kümesini ifade eder.
