Polinomlar değişkenlerinin üssü doğal sayı olan fonksiyonlardır. Örnek olarak aşağıdaki fonksiyonlara bakılacak olursa;
\(P(x)={\large \frac{6}{x}}+3x^2+5\) bir polinom değildir. Çünkü en baştaki terimde bulunan x'in üssü -1'dir.
\(P(x)=6x+3\sqrt{x}+5\) de bir polinom değildir. Çünkü x'lerden birinin üssü 0,5'tir.
\(P(x)=3x^2+6x+5\) bir polinomdur. Çünkü değişkenlerin üssü sırasıyla 2, 1 ve 0'dır.
\(P(x)=5\) de bir polinomdur. Çünkü değişkenin üssü 0'dır.
Yukarıdaki fonksiyonlardan polinom olanlar tek değişkenli polinomdur ve tek değişkenli polinomların derecesi en büyük üslü değişkenin üssüdür. Örnek olarak \(P(x)=3x^2+6x+5\) polinomunun derecesi 2'dir.
Polinom genel olarak n doğal sayı olmak üzere şu şekilde ifade edilebilir:
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)
Polinomların dereceleri hakkında aşağıdaki kurallar geçerlidir:
\(P(x)\) polinomunun derecesi \(m\), \(Q(x)\) polinomunun derecesi \(n\) ve \(m>n\) olmak üzere;
\(P(x)\pm Q(x)\) polinomunun derecesi \(m\)'dir.
\(P(x)Q(x)\) polinomunun derecesi \(m+n\)'dir.
\(\large \frac{P(x)}{Q(x)}\) polinomunun derecesi \(m-n\)'dir.
\(k\in R\) olmak üzere \(P(x)=k\) şeklindeki polinomlara sabit polinom denir. Örneğin \(P(x)=5\) bir sabit polinomdur.
\(k\in R\) olmak üzere \(P(x)=k\) şeklindeki polinomlara sabit polinom denir. Örneğin \(P(x)=5\) bir sabit polinomdur.
Birden Fazla Değişkenli Polinom
Polinomlar tek değişkenli olmak zorunda değildir. Birden fazla değişkenli polinomlar da vardır. Böyle polinomların derecesi herbir terimdeki değişkenlerin üsleri kendi içinde toplanarak bulunur. Elde edilen bu sayılardan en büyüğü polinomun derecesidir.
Örnek olarak \(P(x,y)=8x^3+5x^2y^2+2y+5\) polinomu incelensin. Her terimin ayrı ayrı dereceleri bulunmalıdır:
\(8x^3\) teriminin derecesi 3+0=3'tür.
\(5x^2y^2\) teriminin derecesi 2+2=4'tür.
\(2y\) teriminin derecesi 0+1=1'dir.
\(5\) teriminin derecesi 0+0=0'dır.
Terimlerden en büyük dereceli olanın derecesi aynı zamanda polinomun da derecesi olacağından bu polinomun derecesi 4'tür.
Polinomların Eşitliği
İki polinomun birbirine eşit olabilmesi için bu polinomların dereceleri birbirine eşit olmalıdır. Ayrıca aynı değişken ve üs kombinasyonuna sahip terimlerin katsayıları da eşit olmalıdır. Bu, tek değişkenli polinomlar için aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması manasına gelir:
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)
\(Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_2x^2+b_1x+b_0\)
\(8x^3\) teriminin derecesi 3+0=3'tür.
\(5x^2y^2\) teriminin derecesi 2+2=4'tür.
\(2y\) teriminin derecesi 0+1=1'dir.
\(5\) teriminin derecesi 0+0=0'dır.
Terimlerden en büyük dereceli olanın derecesi aynı zamanda polinomun da derecesi olacağından bu polinomun derecesi 4'tür.
Polinomların Eşitliği
İki polinomun birbirine eşit olabilmesi için bu polinomların dereceleri birbirine eşit olmalıdır. Ayrıca aynı değişken ve üs kombinasyonuna sahip terimlerin katsayıları da eşit olmalıdır. Bu, tek değişkenli polinomlar için aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması manasına gelir:
\(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)
\(Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_2x^2+b_1x+b_0\)
Yukarıdaki gibi iki polinom verilmiş ve bunlar birbirine eşitse aşağıdaki durum sağlanmalıdır:
\(a_n=b_n\) , \(a_{n-1}=b_{n-1}\), ... , \(a_2=b_2\), \(a_1=b_1\), \(a_0=b_0\)
\(a_n=b_n\) , \(a_{n-1}=b_{n-1}\), ... , \(a_2=b_2\), \(a_1=b_1\), \(a_0=b_0\)
Polinomlarda Dört İşlem
Polinomlarda toplama işlemi aynı değişken ve üs kombinasyonuna sahip terimlerin katsayılarının kendi aralarında toplanmalarıyla yapılır. Çıkarma da aynı şekilde yapılır. Tek değişkenli polinomlar için aynı değişken ve üs kombinasyonuna sahip terimler tabiri yerine aynı dereceli terimler tabiri de kullanılabilir.
\(P(x)=4x^3+2x^2+5x+5\) ve \(Q(x)=x^3+3x^2-3x-1\) olsun;
\(P(x)+Q(x)=(4+1)x^3+(2+3)x^2+(5-3)x+(5-1)\)
\(P(x)+Q(x)=5x^3+5x^2+2x+4\)
\(P(x)-Q(x)=(4-1)x^3+(2-3)x^2+(5+3)x+(5+1)\)
\(P(x)-Q(x)=3x^3-x^2+8x+6\)
Polinomlarda çarpma işlemi yapılırken çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği kullanılır:
\(P(x)=4x^3+5x\) ve \(Q(x)=3x^2-1\) olsun:
\(P(x)-Q(x)=3x^3-x^2+8x+6\)
Polinomlarda çarpma işlemi yapılırken çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği kullanılır:
\(P(x)=4x^3+5x\) ve \(Q(x)=3x^2-1\) olsun:
\(P(x).Q(x)=4x^3.3x^2+4x^3.(-1)+5x.3x^2+5x.(-1)\)
\(P(x).Q(x)=12x^5-4x^3+15x^3-5x=12x^5+11x^3-5x\)
\(P(x).Q(x)=12x^5-4x^3+15x^3-5x=12x^5+11x^3-5x\)
Polinomlarda bölme işlemi normal bölme işlemine benzer. Bölüm kısmına önce bölünen ile bölenin dereceleri arasındaki fark kadar dereceli bir değişken yazılır, bu değişkenin katsayısı en büyük dereceli terimlerin katsayıları oranıdır. Daha sonra bu terimle bölenin çarpımı bölünenden çıkarılır ve aynı işlem bölünenin derecesi bölenin derecesinin altına düşene kadar tekrarlanır. Bu işlem bir örnek ile daha iyi anlaşılacaktır.
İşlem <<<<< Genel Matematik >>>>> Modüler Aritmetik